Pengantar Proses Bernoulli dan Random Walk

Sebelum membahas Proses Bernoulli dan Random Walk secaran khusus, penting untuk memahami konsep Proses Stokastik sebagai pengantar sebelum membahas Proses Bernoulli dan Random Walk. Proses stokastik adalah kumpulan variabel acak  yang diindeks oleh parameter waktu . Menurut Syaifudin & Choiruddin (2021), proses stokastik adalah proses yang mengikuti hukum peluang dan nilainya berubah secara acak terhadap waktu,
mencakup proses Bernoulli, , dan proses Wiener sebagai tiga contoh utamanya. Proses stokastik dapat
diklasifikasikan berdasarkan:

•     Ruang keadaan (state space): diskrit atau kontinu

•     Parameter waktu (): diskrit atau kontinu

•  Sifat dependensi: proses Markov, martingale, dan sebagainya

Berikut tabel yang dapat dilihat agar memudahkan dalam mengklasifikasikan proses stokastik:

     Tabel 1. Klasifikasi Proses Stokastik

Proses	Ruang Keadaan	Parameter Waktu	Contoh
Bernoulli	Diskrit	Diskrit	Pelemparan Koin
Random Walk	Diskrit	Diskrit	Gerak Partikel
Rantai Markov	Diskrit/Kontinu	Diskrit	Cuaca/Antrian
Gerak Brown	Kontinu	Kontinu	Gerak Partikel
Poisson	Diskrit	Kontinu	Waktu Kedatangan

A. Proses Bernoulli

Pada Proses Stokastik, terdapat proses yang dikenal sebagai Proses Bernoulli. Menurut Syaifudin & Choiruddin (2021), Proses Bernoulli merupakan suatu percobaan acak yang hanya memiliki dua kemungkinan hasil, yaitu berhasil atau gagal, dengan peluang terjadinya berhasil adalah θ dan peluang terjadinya gagal adalah 1 − θ. Misalkan kejadian “berhasil” dilambangkan dengan S dan kejadian “gagal” dilambangkan dengan F, sehingga dapat dibentuk variabel acak yang memetakan ruang sampel {S, F} ke dalam nilai bilangan riil

                                                                                            X(F) = 0    dan   X(S) = 1

Fungsi probabilitas dari variabel acak di atas dapat dituliskan sebagai berikut:

                                                                                             f(0) = P[X = 0] = 1 – θ

                                                                                             f(1) = P[X = 1] = θ

dengan θ menunjukkan peluang untuk berhasil. Proses dikatakan Bernoulli apabila memenuhi syarat-syarat berikut:

• Setiap percobaan terdiri dari dua hasil yaitu sukses atau gagal.
• Memiliki peluang sukses p dan peluang gagal q = 1 – p yang tetap di setiap percobaan.
• Bersifat independen, artinya hasil setiap percobaan tidak memengaruhi percobaan lainnya.

Secara singkat, proses Bernoulli adalah rangkaian percobaan acak yang hanya menghasilkan dua kemungkinan: sukses atau gagal. Privault (2008) menegaskan bahwa proses Bernoulli merupakan representasi paling elementer dari proses stokastik waktu diskrit yang terbentuk dari barisan variabel acak biner yang bersifat independent and identically distributed (i.i.d.). Dari proses Bernoulli, kita dapat mendefinisikan variabel acak X yang hasilnya mengikuti distribusi Bernoulli.

Suatu variabel acak X dikatakan mengikuti distribusi Bernoulli apabila fungsi kepadatan probabilitasnya memiliki bentuk sebagai berikut:

  f(x) = θx . (1 – θ) 1- x,         x = 0,1

Untuk x = 1, 0, variabel acak Bernoulli dapat dituliskan sebagai berikut:

Menurut Syaifudin & Choiruddin (2021) dan Darsyah & Ismunarti (2013), distribusi Bernoulli merupakan kasus khusus dari distribusi binomial ketika n = 1. Sifat-sifat dari distribusi Bernoulli adalah sebagai berikut:

 i.  Mean distribusi Bernoulli : E[X] = 0

 ii.  Varians distribusi Bernoulli : Var[X] = θ(1 – 0)

 iii.  Fungsi pembangkit momen distribusi Bernoulli :

Contoh:

Menentukan probabilitas munculnya mata dadu yang bernilai 5 atau lebih pada satu kali percobaan pelemparan dadu bersisi enam

Pembahasan:

Pada percobaan pelemparan dadu bersisi enam dengan ruang sampel {1, 2, 3, 4, 5, 6} , hasil yang mungkin muncul dikelompokkan menjadi {1, 2, 3, 4} (gagal) dan {5, 6}  (berhasil). Percobaan ini termasuk percobaan Bernoulli dengan:

P[X=0] = P[gagal] = 4/6  dan  P[X = 1] = P[berhasil] = 2/6

Sehingga peluang munculnya mata dadu yang lebih besar atau sama dengan 5 adalah  atau .

B. Random Walk

Selain Proses Bernoulli, dalam proses stokastik juga dikenal Proses Random Walk. Random Walk atau jalan acak adalah posisi awal yang digunakan sebagai titik acuan untuk menentukan langkah-langkah berikutnya berdasarkan peluang. Wikipedia Bahasa Indonesia menyebutkan bahwa langkah acak merupakan objek matematis berupa proses stokastik yang menggambarkan lintasan dari serangkaian langkah acak berurutan, dengan penerapan di bidang fisika, biologi, ekonomi, psikologi, dan ilmu komputer.

                                                                              Gambar 1. Simulasi Random Walk

Berdasarkan Gambar 1, terlihat jalan acak pada garis bilangan riil. Pada gambar tersebut terlihat pergerakan yang terjadi sebanyak 31 langkah acak, dengan arah langkah yang dapat naik atau turun. Berdasarkan gambar tersebut St,  menyatakan posisi partikel pada waktu t. Setelah t = 31 langkah, posisi partikel berada 4 satuan di atas posisi awal, sehingga nilai bersifat positif. Pergerakan dalam jalan acak dapat menunjukkan pola yang berbeda pada setiap proses naik dan turun yang terjadi. Peristiwa jalan acak ini termasuk proses stokastik waktu diskrit, karena partikel bergerak dari posisi awal (t = 0) ke arah +1 atau -1 pada setiap langkah.

Proses Random Walk dapat dimengerti lebih dalam dengan berdasar pada penjelasan sebelumnya. Misalkan merupakan peubah acak bernilai riil dan , sehingga berlaku:

Barisan peubah acak  disebut jalan acak, dengan S₀ sebagai keadaan atau posisi awal. Jika hanya memiliki dua kemungkinan nilai, yaitu 1 dan −1, maka disebut jalan acak sederhana. Peubah acak saling bebas dengan kemungkinan nilai 1 atau −1 pada setiap kejadian. Dengan demikian, mengikuti distribusi Bernoulli. Akibatnya, mengikuti distribusi binomial.

Misalkan St menyatakan posisi partikel pada waktu t dengan S0 = 0 . Peubah acak bernilai 1 jika pada saat i partikel bergerak sejauh ke kanan atau ke atas, dan bernilai −1 jika partikel bergerak sejauh ke kiri atau ke bawah. Secara matematis dapat dituliskan sebagai berikut:

Maka, St yang menyatakan posisi partikel dapat dituliskan sebagai berikut:

atau dapat disederhanakan menjadi

Karena peubah acak saling bebas dengan , maka nilai harapan dan variansi dari dapat dihitung sebagai berikut:

Jika peluang , misalnya peluang sukses sebesar 0,4, maka nilai harapan dan variansi dari adalah:

Selanjutnya, jika peluang sukses adalah 0,7, maka diperoleh nilai harapan dan variansi sebagai berikut:

Berdasarkan nilai , maka dapat diperoleh nilai rata-rata dan variansi dari yang merupakan hasil penjumlahan sebanyak n  kejadian dari , adalah:

Untuk mempermudah analisis, dianggap sebanding dengan .Misalkan . Selanjutnya digunakan hubungan:

Jika dipilih , maka , sehingga diperoleh:

Contoh:

Sebuah partikel berada pada posisi awal S₀ = 0. Pada setiap langkah, partikel dapat bergerak ke kanan (+1) atau ke kiri (−1) dengan peluang 0,5. Hasil pergerakan selama 5 langkah:

   Tabel 2. Hasil pergerakan partikel selama 5 langkah

Langkah (i)		Posisi St
0	—	0
1	1	1
2	−1	0
3	1	1
4	1	2
5	−1	1

Pembahasan:

Setelah 5 langkah, posisi partikel berada pada S5  , yang berarti partikel berada  satuan di sebelah kanan dari posisi awal.

C. Proses Bernoulli dan Random Walk Membentuk Proses Stokastik

Suatu proses disebut proses stokastik apabila merupakan kumpulan variabel acak yang nilainya berubah secara acak terhadap waktu atau tahapan tertentu dan dapat dianalisis menggunakan hukum peluang. Dalam proses ini, setiap keadaan yang muncul merupakan hasil dari percobaan acak yang dapat terjadi secara berulang, sehingga memungkinkan terbentuknya pola probabilistik yang dapat dipelajari secara matematis.

Salah satu bentuk paling sederhana dari proses stokastik diskrit adalah proses Bernoulli. Privault (2008) menegaskan bahwa barisan variabel acak  yang bersifat i.i.d. dengan dua kemungkinan hasil membentuk suatu proses stokastik waktu diskrit yang paling elementer.

Peran proses Bernoulli sebagai dasar proses stokastik menjadi lebih jelas ketika percobaan diulang sebanyak n kali. Jumlah keberhasilan yang terjadi akan mengikuti distribusi Binomial, dengan fungsi massa peluang:

Darsyah & Ismunarti (2013) dan Syaifudin & Choiruddin (2021) menyatakan bahwa distribusi Binomial terbentuk dari pengulangan percobaan Bernoulli, sedangkan distribusi Bernoulli sendiri merupakan kasus khususnya ketika n = 1 . Hal ini menunjukkan bahwa proses Bernoulli merupakan fondasi bagi berbagai distribusi diskrit dalam teori peluang.

Selain proses Bernoulli, Random Walk juga merupakan salah satu bentuk proses stokastik diskrit yang sangat penting. Spitzer (1976) dalam Principles of Random Walk menyatakan bahwa kumpulan merupakan proses stokastik dengan ruang keadaan diskrit, karena setiap nilai S_n merupakan hasil dari variabel acak yang ditentukan pada waktu diskrit n.

Random Walk memiliki beberapa sifat yang menghubungkannya dengan proses stokastik. Pertama, sifat Markov, di mana posisi berikutnya S_n+1 hanya bergantung pada posisi saat ini S_n. Fewster (n.d.) dalam lecture notes Markov Chains dari University of Auckland menjelaskan bahwa sifat ini dapat dinyatakan secara formal sebagai:

Kedua, setiap langkah X_i bersifat saling bebas. Gallager (1996) dalam Random Walks and Martingales (MIT OpenCourseWare) mendefinisikan random walk sebagai proses stokastik integer  yang terbentuk dari penjumlahan variabel acak i.i.d., dan menyebutkan sifat martingale pada Random Walk simetris:

Random Walk juga memiliki hubungan yang sangat dekat dengan proses Bernoulli. Setiap langkah pada random Walk mengikuti distribusi Bernoulli, sehingga random Walk terbentuk dari banyak percobaan Bernoulli yang dilakukan secara berulang

Jika jumlah langkah n dibuat sangat besar dengan dan , maka menurut Teorema Limit Pusat, distribusi S_n akan mendekati distribusi normal dengan rata-rata nol dan variansi t. Qur’ani (2021) menjelaskan bahwa batas dari proses ini, yang dikenal sebagai Gerak Brown, adalah gerakan acak partikel sangat kecil dalam cairan yang secara matematis merupakan limit kontinu dari random walk diskrit.

Secara keseluruhan, proses Bernoulli dan Random Walk sama-sama merupakan contoh proses stokastik diskrit yang saling berkaitan. Proses Bernoulli adalah percobaan acak paling sederhana, sedangkan Random Walk terbentuk dari penjumlahan banyak percobaan tersebut sehingga menghasilkan lintasan yang bergerak secara acak dari waktu ke waktu. Keduanya memenuhi pengertian proses stokastik karena terdiri dari kumpulan variabel acak yang bergantung pada waktu dan dapat dianalisis menggunakan teori peluang.

 

 

Referensi

Darsyah, M.Y. & Ismunarti, D.H. (2013). Distribusi Uniform dan Distribusi Binomial. Jurnal Statistika, Vol. 1, No. 1. https://jurnal.unimus.ac.id/index.php/statistik/article/download/736/790

Fewster, R. (n.d.). Markov Chains and Random Walks. University of Auckland. https://www.stat.auckland.ac.nz/~fewster/325/notes/ch8.pdf

Gallager, R.G. (1996). Random Walks and Martingales. Discrete Stochastic Processes. MIT OpenCourseWare. https://ocw.mit.edu/courses/6-262-discrete-stochastic-processes-spring-2011/29c7ef43b81d499d950c8fe3167a9dd5_MIT6_262S11_chap07.pdf

Privault, N. (2008). Stochastic analysis of Bernoulli processes. Probability Surveys, Vol. 5, hlm. 435–483. https://projecteuclid.org/journals/probability-surveys/volume-5/issue-none/Stochastic-analysis-of-Bernoulli-processes/10.1214/08-PS139.full

Qur’ani, A.Y. (2021). Gerak Brown: Proses Stokastik. Academia.edu. https://www.academia.edu/45651553/Gerak_Brown_Proses_Stokastik

Spitzer, F. (1976). Principles of Random Walk (2nd ed.). Springer-Verlag. https://www.scribd.com/document/323158256/034-Principles-of-Random-Walk-Spitzer-F-2ed-Springer-2001-ISBN-0387951547-T-427s-pdf

Wikipedia Bahasa Indonesia. Langkah Acak. https://id.wikipedia.org/wiki/Langkah_acak

Syaifudin, W.H. & Choiruddin, A. (2021). Pengantar Teori Probabilitas dan Statistika. Elmarkazi Publisher. ISBN 978-623-331-037-6. https://slims.ahmaddahlan.ac.id/index.php?p=fstream-pdf&fid=112&bid=3337