A. Tingkat Kesibukan Sistem (Utilization, )
Tingkat utilisasi (utilization) adalah ukuran yang menunjukkan seberapa besar proporsi kapasitas pelayanan yang digunakan untuk melayani pelanggan dalam suatu sistem antrean (Verent, 2026). Dengan kata lain, tingkat utilisasi menggambarkan persentase waktu server atau fasilitas pelayanan berada dalam kondisi sibuk dibandingkan dengan total waktu operasinya. Pada model antrean, tingkat utilisasi biasanya dinotasikan dengan simbol ρ (rho).
Menurut (Verent, 2026), Untuk model M/M/1 yakni model yang memiliki antrean yang memiliki satu jalur pelayanan (single channel) dan satu tahap pelayanan (single phase), dengan kedatangan pelanggan mengikuti distribusi Poisson serta waktu pelayanan mengikuti distribusi eksponensial, tingkat utilisasi model tersebut dihitung dengan membandingkan laju kedatangan pelanggan (λ) terhadap laju pelayanan (μ).
Nilai ρ berada pada rentang 0 ≤ ρ < 1. Semakin besar nilai ρ, semakin tinggi tingkat kesibukan fasilitas pelayanan. Sebaliknya, semakin kecil nilai ρ, semakin banyak waktu server berada dalam kondisi menganggur (Verent, 2026).
Interpretasi nilai dapat dijelaskan sebagai berikut.
- ρ = 0 berarti tidak ada pelanggan yang datang sehingga server selalu menganggur.
- 0 < ρ < 1 berarti sistem berada dalam kondisi stabil, karena kemampuan pelayanan masih lebih besar daripada laju kedatangan pelanggan.
- ρ mendekati 1 menunjukkan server hampir selalu sibuk sehingga waktu tunggu dan panjang antrean cenderung meningkat.
- ρ ≥ 1 menunjukkan sistem tidak stabil karena laju kedatangan sama dengan atau melebihi kapasitas pelayanan. Akibatnya, jumlah pelanggan dalam antrean akan terus bertambah.
B. Tingkat Kedatangan dan Tingkat Pelayanan
Menurut (Dewi, dkk., 2026), tingkat kedatangan dan tingkat pelayanan merupakan dua parameter utama yang digunakan untuk menganalisis kinerja suatu sistem antrean. Kedua parameter ini menunjukkan seberapa cepat pelanggan datang ke sistem dan seberapa cepat sistem mampu melayani pelanggan.
1. Tingkat Kedatangan (λ)
Tingkat kedatangan (λ) adalah rata-rata jumlah pelanggan yang datang ke sistem dalam satu satuan waktu (Dewi, dkk., 2026). Satuan waktu yang digunakan dapat berupa menit, jam, atau hari, sesuai dengan kondisi sistem yang dianalisis.
Adapun langkah-langkah dalam mencari nilai dari tingkat kedatangan (λ) sebagai berikut:
a) Mencari selang waktu kedatangan (interarrival time) dengan menggunakan rumus berikut:
dengan:
b) Menghitung rata-rata selang waktu kedatangan (interarrival time) dengan menggunakan rumus sebagai berikut:
dengan:
c) Menentukan tingkat kedatangan (λ) menggunakan rumus sebagai berikut:
dengan:
Semakin besar nilai λ, semakin banyak pelanggan yang datang ke sistem dalam periode waktu tertentu. Apabila peningkatan kedatangan tidak diimbangi dengan kemampuan pelayanan, maka antrean akan semakin panjang.
2. Tingkat Pelayanan (μ)
Tingkat pelayanan (μ) adalah rata-rata jumlah pelanggan yang dapat dilayani oleh satu server dalam satu satuan waktu.
Adapun langkah-langkah dalam mencari nilai dari tingkat pelayanan (μ) sebagai berikut:
a) Menghitung waktu pelayanan menggunakan rumus sebagai berikut:
dengan:
b) Menghitung rata-rata waktu pelayanan dengan menggunakan rumus sebagai berikut:
dengan:
c) Menentukan tingkat pelayanan dengan menggunakan rumus sebagai berikut:
Nilai ini dihitung berdasarkan rata-rata waktu pelayanan menggunakan persamaan:
dengan:
Nilai μ menunjukkan kapasitas pelayanan sistem. Semakin besar nilai μ, semakin banyak pelanggan yang dapat dilayani dalam waktu tertentu sehingga waktu tunggu pelanggan cenderung menjadi lebih singkat.
Menurut (Dewi dkk., 2026), Suatu sistem antrean dikatakan stabil apabila kapasitas pelayanan lebih besar daripada laju kedatangan pelanggan.
Pada model M/M/1 kondisi tersebut dinyatakan sebagai:
λ < μ
Sedangkan pada model M/M/c, kondisi stabil dinyatakan sebagai:
λ < cμ
Menurut (Dewi dkk., 2026), jika syarat tersebut terpenuhi, sistem mampu melayani pelanggan lebih cepat daripada kedatangannya sehingga ukuran kinerja seperti panjang antrean 
dan waktu tunggu 
tetap memiliki nilai hingga (finite). Sebaliknya, apabila λ ≥ μ pada model M/M/1 atau λ ≥ cμ pada model M/M/c, maka sistem menjadi tidak stabil dan antrean akan terus bertambah seiring waktu.
C. Ukuran Performa Suatu Sistem
Setelah mengetahui tingkat utilisasi, langkah selanjutnya adalah menganalisis kinerja sistem antrean melalui beberapa ukuran performa. Menurut (Hasan dkk., 2026), Ukuran performa digunakan untuk menilai seberapa baik sistem pelayanan dalam melayani pelanggan. Melalui ukuran-ukuran tersebut, dapat diketahui apakah sistem telah bekerja secara efisien atau masih memerlukan perbaikan untuk meningkatkan kualitas pelayanan.
Pada model antrean M/M/1, terdapat empat ukuran performa yang umum digunakan, yaitu rata-rata jumlah pelanggan dalam sistem 
, rata-rata jumlah pelanggan dalam antrean , rata-rata waktu pelanggan berada dalam sistem 
, dan rata-rata waktu tunggu pelanggan dalam antrean (Hasan dkk., 2026).
1. Rata-Rata Jumlah Pelanggan Dalam Sistem
Rata-rata jumlah pelanggan dalam sistem adalah banyaknya pelanggan yang berada di dalam sistem, baik pelanggan yang sedang menunggu maupun yang sedang dilayani (Verent, 2026). Rata-rata jumlah pelanggan dapat dicari menggunakan rumus berikut:
dengan:
Semakin besar nilai 
, semakin banyak pelanggan yang berada di dalam sistem sehingga menunjukkan bahwa sistem pelayanan menjadi semakin padat.
2. Rata-Rata Jumlah Pelanggan Dalam Antrean
Rata-rata jumlah pelanggan dalam antrean 
adalah banyaknya pelanggan yang sedang menunggu giliran pelayanan, tidak termasuk pelanggan yang sedang dilayani (Verent, 2026). Rata-rata jumlah pelanggan dalam antrean dapat dicari menggunakan rumus berikut:
dengan:
Semakin besar nilai , semakin panjang antrean yang terbentuk sehingga pelanggan harus menunggu lebih lama sebelum memperoleh pelayanan.
3. Rata-rata Waktu Pelanggan dalam Sistem
Rata-rata waktu dalam sistem adalah rata-rata waktu yang dihabiskan pelanggan sejak memasuki sistem hingga selesai memperoleh pelayanan (Verent, 2026). Waktu tersebut mencakup waktu menunggu dalam antrean dan waktu pelayanan. Rata-rata waktu dalam sistem dapat dicari menggunakan rumus sebagai berikut:
dengan:
Semakin besar nilai 
, semakin lama pelanggan berada di dalam sistem pelayanan.
4. Rata-rata Waktu Tunggu dalam antrean
Rata-rata waktu tunggu dalam antrean adalah rata-rata waktu yang dihabiskan pelanggan untuk menunggu sebelum dilayani (Verent, 2026). Rata-rata waktu tunggu dalam antrean dapat dicari menggunakan rumus sebagai berikut:
dengan:
Nilai 
memberikan gambaran mengenai lamanya pelanggan harus menunggu sebelum mendapatkan pelayanan. Semakin kecil nilai , semakin cepat pelanggan memperoleh pelayanan.
D. Contoh Penerapan
Sebelum membahas interpretasi hasil, ukuran performa perlu dihitung berdasarkan data tingkat kedatangan dan tingkat pelayanan. Contoh berikut menggunakan model M/M/1.
Diketahui:
Dilakukan pengamatan pada sebuah loket pelayanan selama beberapa menit dan diperoleh data sebagai berikut.
Berikut langkah-langkah dalam mengukur performa suatu sistem:
Menghitung Selang Waktu Kedatangan
Selang waktu kedatangan dihitung dari selisih waktu kedatangan pelanggan yang berurutan dengan menggunakan rumus:
Sehingga diperoleh tabel sebagai berikut
Menghitung Tingkat Kedatangan
Rata-rata interarrival time dihitung menggunakan persamaan:
Sehingga,
Apabila dinyatakan dalam satuan menit:
Selanjutnya, tingkat kedatangan dihitung menggunakan persamaan:
Artinya, rata-rata terdapat sekitar 1,71 pelanggan yang datang ke sistem setiap menit.
Menghitung Waktu Pelayanan
Waktu Pelayanan dihitung dari selisih waktu mulai dilayani dengan waktu selesai pelayanan menggunakan rumus:
Sehingga diperoleh tabel sebagai berikut:
Rata-rata waktu pelayanan dihitung menggunakan persamaan:
Sehingga,
Apabila dinyatakan dalam satuan menit,
Selanjutnya, tingkat pelayanan dihitung menggunakan persamaan:
Artinya, rata-rata server mampu melayani sekitar 1,79 pelanggan setiap menit.
Menghitung Tingkat Utilisasi
Karena sistem yang digunakan adalah M/M/1, maka tingkat utilisasi dihitung dengan rumus:
Substitusi nilai yang telah diperoleh:
Nilai tingkat utilisasi sebesar 96% menunjukkan bahwa server hampir selalu sibuk melayani pelanggan. Meskipun sistem masih stabil karena λ < μ, kapasitas pelayanan yang hampir penuh menyebabkan antrean mudah terbentuk. Jika jumlah pelanggan yang datang meningkat, waktu tunggu dan panjang antrean juga akan semakin bertambah.
Menghitung Ukuran Performa Sistem
Karena diketahui:
λ = 1,71 pelanggan/menit
μ = 1,79 pelanggan/menit
maka diperoleh:
Rata-rata Jumlah Pelanggan Dalam Sistem
Rata-rata Jumlah Pelanggan Dalam Antrean
Rata-rata Waktu Pelanggan Dalam Sistem
Rata-rata Waktu Pelanggan Dalam Antrean
Interpretasi
Berdasarkan hasil perhitungan, diperoleh tingkat kedatangan sebesar 1,71 pelanggan per menit dan tingkat pelayanan sebesar 1,79 pelanggan per menit. Nilai menunjukkan bahwa sistem masih berada dalam kondisi stabil karena server mampu melayani pelanggan lebih cepat daripada laju kedatangannya. Namun, tingkat utilisasi sebesar 96% menunjukkan bahwa server bekerja hampir pada kapasitas penuh. Akibatnya, antrean masih cukup panjang, dengan rata-rata 21 pelanggan berada di dalam sistem dan 20 pelanggan menunggu dalam antrean. Rata-rata pelanggan menghabiskan 12,50 menit di dalam sistem, termasuk 11,95 menit untuk menunggu sebelum dilayani.
Kesimpulan
Berdasarkan contoh penerapan yang telah dilakukan, diperoleh tingkat kedatangan sebesar 1,71 pelanggan per menit dan tingkat pelayanan sebesar 1,79 pelanggan per menit. Nilai tersebut menunjukkan bahwa kemampuan server dalam melayani pelanggan masih lebih besar daripada laju kedatangan pelanggan sehingga sistem berada dalam kondisi stabil.
Hasil perhitungan juga menunjukkan tingkat utilisasi sebesar 96%, yang berarti server hampir selalu digunakan untuk melayani pelanggan. Kondisi ini menyebabkan waktu luang server sangat sedikit sehingga antrean mudah terbentuk apabila terjadi peningkatan jumlah pelanggan. Selain itu, ukuran performa sistem menunjukkan bahwa rata-rata terdapat sekitar 21 pelanggan di dalam sistem, dengan sekitar 20 pelanggan berada dalam antrean. Rata-rata pelanggan menghabiskan waktu 12,50 menit di dalam sistem, termasuk 11,95 menit untuk menunggu sebelum memperoleh pelayanan.
Melalui contoh penerapan ini dapat dipahami bahwa tingkat kedatangan, tingkat pelayanan, tingkat utilisasi, dan ukuran performa sistem saling berkaitan dalam mengevaluasi kinerja suatu sistem antrian. Analisis tersebut dapat digunakan sebagai dasar untuk menilai apakah kapasitas pelayanan telah memadai atau masih memerlukan perbaikan agar waktu tunggu pelanggan dan panjang antrean dapat diminimalkan.
E. Kesimpulan
Analisis kinerja sistem antrian dilakukan untuk mengetahui kemampuan suatu sistem dalam melayani pelanggan secara efektif dan efisien. Kinerja sistem dipengaruhi oleh tingkat kedatangan pelanggan (λ) dan tingkat pelayanan (μ), yang selanjutnya digunakan untuk menghitung tingkat utilisasi (ρ) serta berbagai ukuran performa, rata-rata jumlah pelanggan dalam sistem , rata-rata jumlah pelanggan dalam antrean , rata-rata waktu pelanggan berada dalam sistem , dan rata-rata waktu tunggu dalam antrean . Melalui contoh penerapan, dapat dipahami bahwa hasil perhitungan ukuran performa memberikan gambaran mengenai kondisi sistem sehingga dapat digunakan sebagai dasar untuk mengevaluasi dan meningkatkan kualitas pelayanan.
REFRENSI
Dewi, A. A. (2026). Analisis teori antrian pada Pom Bensin Nusa Indah Jambi menggunakan metode single channel phase. MATHunesa: Jurnal Ilmiah Matematika, 14(1). https://journal.unesa.ac.id/index.php/mathunesa
Hasan, M. (2026). Kajian teori antrian model M/M/1 dan implementasinya pada berbagai sistem pelayanan. Jejak Digital: Jurnal Ilmiah Multidisiplin. https://ejournal.jejakpublisher.com/index.php/jd
Verent, V. N. (2026). Penerapan model antrian single channel single phase untuk mengukur efisiensi pelayanan kasir di Alfamart Mendalo Indah Jambi. MATHunesa: Jurnal Ilmiah Matematika, 14(1). https://journal.unesa.ac.id/index.php/mathunesa