Fondasi Proses Stokastik: Ruang Probabilitas, Ketergantungan Waktu, dan Klasifikasi Proses

        Proses Stokastik merupakan model matematika berbasis teori probabilitas yang digunakan untuk menggambarkan perubahan suatu sistem yang bersifat acak dari waktu ke waktu dan dapat dinyatakan dalam bentuk   (Taylor & Karlin, 1998).

A. Ruang Probabilitas

        Proses stokastik tidak dapat lepas dari konsep dasar probabilitas. Karena proses stokastik membahas kemungkinan terjadinya suatu peristiwa, peluang digunakan untuk menentukan seberapa besar kemungkinan suatu hasil terjadi. Oleh sebab itu, sebelum mempelajari proses stokastik, penting untuk memahami terlebih dahulu konsep dasar probabilitas.

1. Percobaan Acak

Percobaan acak adalah percobaan yang hasilnya tidak bisa dipastikan sebelumnya. Misalnya pelemparan dadu atau koin merupakan percobaan acak karena hasil yang muncul tidak dapat ditentukan sebelumnya (Ermawati, 2023).

2. Ruang Sampel

Ruang sampel adalah seluruh kemungkinan hasil dari percobaan acak. Biasa disimbolkan sebagai Ω. Misalkan dadu memiliki 6 sisi, maka ruang sampelnya Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} atau koin memiliki 2 sisi, maka ruang sampelnya Ω = {Angka, Gambar} (Ermawati, 2023).

3. Kejadian

Kejadian adalah bagian dari ruang sampel yang ingin diamati. Biasa disimbolkan dengan huruf  kapital A. Misalkan kejadian yang diinginkan adalah Percobaan Pelemparan Dadu Muncul Angka Genap maka kejadian dapat dinyatakan sebagai A = {2, 4, 6}  (Ermawati, 2023).

4. Peluang

Peluang adalah kemungkinan terjadinya suatu kejadian, nilainya antara 0 dan 1. Untuk menghitung peluang sebuah kejadian, menggunakan rumus:

Contoh

        Seorang siswa melakukan percobaan pelemparan dadu sebanyak 2 kali dan ingin melihat berapa peluang munculnya Angka Ganjil. Pada satu kali pelemparan dadu, ruang sampelnya adalah S = {1, , 3, 4, 5, 6}. Karena dadu dilempar dua kali, maka ruang sampelnya dapat dinyatakan sebagai dan banyak anggota ruang sampelnya adalah n(S) = 6 × 6 = 36. Karena yang ingin diketahui adalah munculnya mata dadu ganjil {1, 3, 5} maka ruang sampelnya dinyatakan sebagai dan banyaknya anggota kejadian A adalah n(A) = 3 × 3 = 9. Dengan begitu dapat dihitung peluang kejadian munculnya mata dadu ganjil dengan 2 kali pelemparan yaitu . Artinya, kemungkinan kedua hasil pelemparan dadu sama-sama ganjil adalah sebesar atau 25%.

B. Klasifikasi Proses Stokastik

        Proses stokastik dapat diklasifikasikan menjadi dua, yaitu berdasarkan jenis waktu pengamatan dan berdasarkan jenis ruang keadaan (state space).

1. Berdasarkan Waktu

Jika berdasarkan waktu pengamatannya, proses stokastik dibedakan menjadi dua jenis.

• Proses Stokastik Waktu Diskrit

Proses stokastik waktu diskrit adalah proses yang diamati pada waktu-waktu tertentu yang terpisah, misalnya {n = 0, 1, 2, 3, …}. Keadaan sistem pada waktu ke-n dilambangkan dengan . (Kulkarni, 2011).

Kumpulan seluruh keadaan dari waktu ke waktu, yaitu , disebut proses stokastik. Notasi n ≥ 0 berarti pengamatan dimulai dari waktu 0 dan seterusnya (0, 1, 2, 3, …) (Kulkarni, 2011).

Semua kemungkinan nilai yang dapat diambil oleh disebut ruang keadaan (state space) (Kulkarni, 2011).

Misalkan setiap hari seseorang memasukkan uang ke dalam celengan dengan jumlah yang tidak tetap. Kadang Rp. 1.000, kadang Rp. 2.000, dan kadang tidak menabung sama sekali.

Misalkan:

Setiap  menyatakan jumlah uang pada hari ke-n. Karena nilainya dapat berbeda-beda dan tidak pasti, maka disebut variabel acak.

Kumpulan disebut proses stokastik waktu diskrit, karena:

• 1. Diamati pada waktu tertentu (hari ke-0, 1, 2, 3, dan seterusnya), sehingga waktunya bersifat diskrit.
  2. Nilainya berubah secara acak.
• Proses Stokastik Waktu Kontinu

Suatu sistem yang berubah secara acak dan dapat diamati setiap saat, mulai dari waktu t ≥ 0. Artinya, sistem dapat diamati pada waktu berapa pun, tidak terbatas pada waktu tertentu saja (Kulkarni, 2011).

Jika X(t) menyatakan keadaan sistem pada waktu t , maka setiap waktu memiliki satu keadaan tertentu. Karena perubahannya tidak dapat dipastikan sebelumnya, maka nilai X(t) bersifat acak (Kulkarni, 2011).

Semua kemungkinan nilai yang dapat diambil oleh X(t) disebut ruang keadaan (state space), yang dilambangkan dengan S (Kulkarni, 2011).

Kumpulan {X(t), t ≥ 0} disebut proses stokastik waktu kontinu karena:

1. 1. Waktunya bersifat kontinu (dapat berupa bilangan riil apa pun yang lebih besar atau sama dengan nol).
   2. Nilainya berubah secara acak seiring waktu.

Jadi, secara sederhana, proses stokastik waktu kontinu adalah kumpulan nilai acak yang berubah-ubah dan dapat diamati setiap saat dalam suatu rentang waktu tertentu.

Misalkan kita mengamati jumlah pelanggan yang masuk ke sebuah toko sejak toko dibuka dengan memperhatikan jumlah kedatangan pelanggan setiap waktu, dimana:

X(t) =jumlah pelanggan yang sudah masuk sampai waktu t. Karena pelanggan bisa datang kapan saja (misalnya pukul 08.05, 08.17, 08.32, dan seterusnya), maka pengamatan dilakukan secara terus-menerus. Waktunya tidak terbatas pada jam tertentu saja.

Setiap waktu t memiliki nilai tertentu, yaitu jumlah pelanggan yang sudah masuk sampai saat itu. Nilainya bisa berubah dan tidak dapat dipastikan sebelumnya, sehingga X(t) adalah variabel acak.

Kumpulan {X(t), t ≥ 0} disebut proses stokastik waktu kontinu, karena:

1. 1. Diamati pada setiap waktu (kontinu).
   2. Nilainya berubah secara acak.
2. Berdasarkan Ruang Keadaan (State Space)

Dalam proses stokastik, ruang keadaan atau state space adalah himpunan seluruh nilai yang mungkin diambil oleh variabel acak pada setiap waktu. Ruang keadaan dilambangkan dengan S dan dapat berbentuk diskrit maupun kontinu.

1. • Ruang Keadaan Diskrit adalah ruang keadaan yang elemennya berupa nilai-nilai yang terpisah dan dapat dihitung satu per satu atau tercacah. Contohnya jumlah pelanggan yang datang ke suatu toko dapat bernilai dan seterusnya (Kulkarni, 2011).
   • Ruang Keadaan Kontinu adalah ruang keadaan yang nilainya dapat berupa semua bilangan dalam suatu interval tertentu. Dengan kata lain, nilainya membentuk suatu rentang yang berkesinambungan. Contohnya suhu udara dapat bernilai dan seterusnya (Kulkarni, 2011).

 

DAFTAR PUSTAKA

Ermawati. (2023). Teori peluang. PT Dewangga Energi Internasional.

https://repositori.uin-alauddin.ac.id/27168/1/Buku-Teori%20Peluang-FINAL.pdf

Kulkarni, V. G. (2011). Introduction to modeling and analysis of stochastic systems (2nd ed.). Springer.

https://ndl.ethernet.edu.et/bitstream/123456789/40666/1/V.G.%20Kulkarni.pdf

Taylor, H. M., & Karlin, S. (1998). An introduction to stochastic modeling (3rd ed.). Academic Press.

https://appliedmath.arizona.edu/sites/default/files/0f04d86a836182cbf608dfc86c7a70f5e5f6_0.pdf