A. Konsep Dasar Antrian dan Distribusi Kedatangan
Teori antrian adalah bagian dari ilmu probabilitas terapan yang pertama kali dikembangkan untuk mengatasi masalah kemacetan lalu lintas telepon pada tahun 1910. Pencetusnya adalah Agner Kramp Erlang (1878–1929), seorang insinyur asal Denmark yang meneliti fluktuasi permintaan layanan telepon otomatis. Ia menemukan bahwa pada jam sibuk, operator kewalahan melayani banyak penelepon sekaligus sehingga penelepon terpaksa menunggu giliran cukup lama. Dari sinilah teori antrian lahir sebagai alat untuk memahami dan menganalisis fenomena menunggu tersebut.
Untuk menganalisis sistem antrian secara tepat, diperlukan pemahaman tentang pola kedatangan dan pola pelayanan yang bersifat acak tersebut. Karena tidak dapat diprediksi secara pasti, pendekatan probabilistik menjadi cara yang paling sesuai untuk memodelkannya. Oleh karena itu, pemahaman tentang distribusi peluang menjadi fondasi utama sebelum masuk ke pembahasan sistem antrian secara lebih mendalam dengan fokus awal pada waktu antar kedatangan maupun waktu pelayanan.
Pola kedatangan pelanggan diukur melalui waktu antar kedatangan, yaitu selang waktu antara dua pelanggan yang datang secara berurutan. Distribusi peluang yang umum digunakan untuk memodelkan pola ini adalah distribusi Poisson (Sugito & Mukid, 2011), karena setiap kedatangan bersifat acak dan bebas, tidak dipengaruhi oleh kedatangan sebelum maupun sesudahnya. Jika rata-rata kedatangan pelanggan adalah λ per satuan waktu, maka dalam selang waktu rata-rata kedatangannya menjadi λt (Sugito & Mukid, 2011).
Bentuk pelayanan dalam sistem antrian ditentukan oleh waktu pelayanan, yaitu waktu yang dibutuhkan untuk melayani satu pelanggan. Pelayanan dapat dilakukan oleh satu atau lebih server, di mana setiap server melayani satu pelanggan secara tuntas sebelum beralih ke pelanggan berikutnya (Sugito & Mukid, 2011). Rata-rata banyaknya pelanggan yang dapat dilayani per satuan waktu dilambangkan dengan µ, sehingga rata-rata waktu pelayanan per pelanggan adalah 1/μ. Distribusi waktu pelayanan sendiri terbagi menjadi dua, yaitu pelayanan individual (single service) dan pelayanan kelompok (bulk service) (Sugito & Mukid, 2011).
B. Distribusi Poisson
Distribusi Poisson adalah distribusi probabilitas diskrit yang digunakan untuk menghitung peluang terjadinya sejumlah kejadian dalam suatu selang waktu tertentu (Sismetha et al., 2017). Distribusi ini digunakan ketika rata-rata jumlah kejadian diketahui dan setiap kejadian terjadi secara acak serta tidak dipengaruhi oleh kejadian sebelumnya. Berdasarkan penelitian yang dilakukan oleh (Sismetha et al., 2017) jika rata-rata banyaknya kejadian dalam suatu interval dinyatakan dengan λ, maka peluang terjadinya x kejadian dapat dihitung menggunakan persamaan berikut :
dengan:
- P(x) : peluang terjadinya sebanyak x kejadian;
- λ : rata-rata jumlah kejadian dalam setiap satuan waktu;
- x : jumlah kejadian yang terjadi;
- e : bilangan Euler atau bilangan natural (e ≈ 2,71828).
Untuk memodelkan kedatangan pelanggan dari waktu ke waktu, digunakan proses Poisson. Berdasarkan laju kedatangannya, proses Poisson dibedakan menjadi dua jenis, yaitu proses Poisson homogen dan proses Poisson nonhomogen.
1. Proses Poisson Homogen
Menurut (Cahyandari & Setianto, 2014), proses Poisson homogen adalah laju kedatangan bernilai tetap atau konstan. Proses menghitung {N(t),t ≥ 0} dapat dikatakan sebagai proses Poisson homogen dengan laju λ, λ > 0 jika memenuhi kondisi berikut (Cahyandari & Setianto, 2014):
i. N(0) = 0
ii. Proses memiliki kenaikan bebas (independent increments).
iii. Banyaknya kejadian pada suatu interval yang panjangnya t mengikuti distribusi Poisson dengan rata-rata λt. Dengan demikian, untuk semua s, t ≥ 0
dengan n = 0, 1, 2, …
2. Proses Poisson Periodik
Pada proses Poisson nonhomogen, laju kedatangan dapat berubah seiring waktu sehingga dinyatakan dengan fungsi intensitas λ(t) (Cahyandari & Setianto, 2014). Proses menghitung {N(t), t ≥ 0} dikatakan sebagai proses Poisson nonhomogen dengan fungsi intensitas λ(t), t ≥ 0, jika memenuhi kondisi berikut (Cahyandari & Setianto, 2014):
i. N(0) = 0
Artinya, pada awal waktu pengamatan belum terjadi kejadian sehingga jumlah kejadian bernilai nol.
ii. {N(t), t ≥ 0} memiliki kenaikan bebas (independent increments).
Artinya, jumlah kejadian yang terjadi pada suatu interval waktu tidak dipengaruhi oleh jumlah kejadian pada interval waktu lainnya.
iii. 
Artinya, dalam selang waktu yang sangat kecil (h), peluang terjadinya dua kejadian atau lebih secara bersamaan sangat kecil sehingga dapat diabaikan.
iv. 
Artinya, dalam selang waktu yang sangat kecil, peluang terjadinya tepat satu kejadian sebanding dengan nilai fungsi intensitas λ(t). Semakin besar nilai λ(t), semakin besar pula peluang terjadinya satu kejadian pada interval waktu tersebut.
C. Distribusi Eksponensial
Distribusi Eksponensial digunakan untuk memodelkan waktu tunggu hingga suatu kejadian terjadi (Sismetha et al., 2017). Dalam konteks fasilitas jasa, distribusi ini digunakan untuk menggambarkan waktu yang dibutuhkan pelanggan untuk menunggu hingga memperoleh layanan. Waktu tunggu tersebut diasumsikan bergantung pada lamanya pelayanan pelanggan sebelumnya dan tidak dipengaruhi oleh pelanggan yang akan dilayani berikutnya. Menurut (Sismetha et al., 2017) jika variabel acak kontinu X mengikuti Distribusi Eksponensial dengan parameter Θ > 0, maka fungsi densitas peluangnya dinyatakan sebagai berikut:
dengan:
- f(x) : fungsi densitas peluang dari waktu x;
- Θ : parameter skala;
- e : bilangan Euler (e ≈ 2,71828)
Selanjutnya, fungsi distribusi kumulatif (CDF) dari Distribusi Eksponensial dinyatakan sebagai berikut:
D. Uji Distribusi Kecocokan
Pada penelitiannya (Sismetha et al., 2017), distribusi kecocokan dapat dilakukan dengan cara sebagai berikut:
1. Menentukan Hipotesis
Hipotesis tentang distribusi kedatangan adalah sebagai berikut: 
Hipotesis tentang distribusi waktu pelayanan adalah sebagai berikut:
2. Menentukan Taraf Signifikansi
Taraf signifikansi α = 5%
3. Menghitung Statistik Uji
dengan:
- D : Difference absolute.
- S(x) : distribusi kumulatif data sampel, yaitu data jumlah kedatangan dan data waktu pelayanan.
: distribusi kumulatif dari distribusi yang dihipotesiskan (untuk kedatangan pasien menggunakan distribusi Poisson, sedangkan untuk waktu pelayanan pasien menggunakan distribusi Eksponensial).
Untuk distribusi Poisson
Sebelum diperoleh nilai D, terlebih dahulu ditentukan peluang terjadinya X kejadian dari hasil pengamatan 
dan peluang terjadinya X kejadian yang mengikuti distribusi Poisson 
.
Untuk menentukan S(x) digunakan persamaan:
dengan:
- S(x) : peluang terjadinya X kejadian dari hasil pengamatan.
- N : banyaknya data pengamatan.
Untuk menentukan , digunakan Persamaan (1) sebagai fungsi distribusi Poisson. Selanjutnya, nilai D untuk distribusi Poisson ditentukan dari selisih peluang terjadinya X kejadian berdasarkan hasil pengamatan dan distribusi kumulatif 
sebagai fungsi distribusi Poisson.
Untuk distribusi Eksponensial
Nilai D untuk distribusi Eksponensial ditentukan dari S(x) (distribusi kumulatif data sampel) dan 
(fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Eksponensial). Untuk menentukan S(x) diperoleh dari persamaan:
dengan:
- S(x) : distribusi kumulatif data sampel.
- N : banyaknya data pengamatan.
4. Kriteria Uji
Tolak 
pada taraf signifikansi α = 5%, jika nilai
- D > D* (α)
Nilai D* (α) adalah nilai kritis yang diperoleh dari tabel Kolmogorov–Smirnov.
E. Model-Model pada Antrian
Karakteristik suatu model antrian dapat dinyatakan menggunakan notasi Kendall yang kemudian dikembangkan oleh A. M. Lee. D. G. Kendall memperkenalkan notasi untuk model antrian dengan satu atau beberapa jalur pelayanan (parallel). Notasi ini digunakan untuk menggambarkan tiga karakteristik utama, yaitu distribusi kedatangan pelanggan, distribusi waktu pelayanan, dan jumlah fasilitas pelayanan. Selain itu, Lee menambahkan beberapa karakteristik lain, seperti aturan pelayanan yang digunakan, jumlah maksimum pelanggan yang dapat berada dalam sistem, serta ukuran sumber populasi. Secara umum, notasi model antrian dituliskan sebagai berikut:
(a/b/c):(d/e/f)
dengan:
- a = distribusi jumlah kedatangan pelanggan (M, G, D,
) - b = distribusi waktu pelayanan (M, G, D, )
- c = jumlah fasilitas pelayanan (c = 1, 2, …)
- d = disiplin atau aturan pelayanan, seperti FCFS (First Come First Served), LCFS (Last Come First Served), SIRO (Service in Random Order), atau PS (Processor Sharing)
- e = jumlah maksimum pelanggan yang dapat berada dalam sistem, baik terbatas maupun tidak terbatas.
- f = ukuran sumber populasi atau sumber pemanggilan, yang dapat bersifat terbatas maupun tidak terbatas.
1. Model Antrian (M/M/1) : (GD/∞/∞)
Model (M/M/1) : (GD/∞/∞) merupakan model antrian paling sederhana yang digunakan untuk menggambarkan sistem antrian (Sismetha et al., 2017). Salah satu contoh penerapannya adalah antrian pembelian tiket di loket. Pada model ini, pelanggan yang datang akan membentuk satu baris antrian dan dilayani oleh satu fasilitas pelayanan. Panjang antrian mencakup seluruh pelanggan yang berada di dalam sistem, baik yang sedang menunggu maupun yang sedang dilayani. Waktu yang dihabiskan pelanggan sejak masuk ke dalam antrian hingga keluar dari sistem disebut waktu dalam sistem.
Panjang antrian atau jumlah pelanggan yang menunggu dinotasikan dengan 
. Sementara itu, waktu rata-rata yang dihabiskan pelanggan untuk menunggu dalam antrian dinotasikan dengan 
, beberapa ukuran kinerja yang digunakan untuk mengevaluasi model antrian (M/M/1) : (GD/∞/∞) adalah sebagai berikut (Sismetha et al., 2017):
- Tingkat kesibukan sistem
Tingkat kesibukan sistem menunjukkan proporsi waktu fasilitas pelayanan digunakan untuk melayani pelanggan. Besaran ini dinotasikan dengan ρ dan dihitung dengan rumus:
- Rata-rata jumlah pelanggan dalam sistem
Rata-rata jumlah pelanggan yang berada di dalam sistem, baik yang sedang menunggu maupun yang sedang dilayani, dinotasikan dengan 
, dengan rumus:
- Rata-rata jumlah pelanggan dalam antrian
Rata-rata jumlah pelanggan yang sedang menunggu untuk mendapatkan pelayanan dinotasikan dengan 
, dengan rumus:
- Waktu rata-rata pelanggan dalam sistem
Waktu rata-rata yang dihabiskan pelanggan sejak memasuki sistem hingga meninggalkan sistem dinotasikan dengan 
, dengan rumus:
- Waktu rata-rata pelanggan dalam antrian
Waktu rata-rata yang dihabiskan pelanggan untuk menunggu sebelum mendapatkan pelayanan dinotasikan dengan 
, dengan rumus:
dengan:
- λ = rata-rata tingkat kedatangan pelanggan;
- μ = rata-rata tingkat pelayanan; dan
- n = jumlah fasilitas pelayanan.
2. Model Antrian (M/M/c) : (GD/∞/∞)
Menurut (Sismetha et al., 2017), pada model antrian (M/M/c) : (GD/∞/∞), terdapat dua atau lebih fasilitas pelayanan yang melayani pelanggan yang datang. Kondisi yang dapat terjadi adalah sebagai berikut:
- Tidak terjadi antrian jika jumlah pelanggan dalam sistem (n) kurang dari atau sama dengan jumlah fasilitas pelayanan (c).
- Terjadi antrian jika jumlah pelanggan dalam sistem (n) lebih besar dari jumlah fasilitas pelayanan (c).
Penggunaan beberapa fasilitas pelayanan bertujuan untuk mempercepat proses pelayanan sehingga waktu pelanggan di dalam sistem menjadi lebih singkat. Menurut (Sismetha et al., 2017), jika setiap fasilitas memiliki tingkat pelayanan sebesar , maka tingkat pelayanan sistem secara keseluruhan adalah pelanggan per satuan waktu dan ukuran kinerja pada model antrian (M/M/c) : (GD/∞/∞) dapat dijelaskan sebagai berikut:
- Tingkat kesibukan sistem
Tingkat kesibukan sistem dinotasikan dengan ρ, yang menunjukkan perbandingan antara tingkat kedatangan pelanggan dan kapasitas pelayanan sistem, dengan rumus:
- Rata-rata jumlah pelanggan dalam antrian
Rata-rata jumlah pelanggan yang menunggu untuk mendapatkan pelayanan dinotasikan dengan , yang dihitung menggunakan rumus:
- Rata-rata jumlah pelanggan dalam sistem
Rata-rata jumlah pelanggan yang berada di dalam sistem, baik yang menunggu maupun yang sedang dilayani, dinotasikan dengan 
, dengan rumus:
- Waktu rata-rata pelanggan dalam sistem
Waktu rata-rata yang dihabiskan pelanggan sejak memasuki sistem hingga selesai dilayani dinotasikan dengan 
, yang dirumuskan sebagai:
- Waktu rata-rata pelanggan dalam antrian
Waktu rata-rata yang dihabiskan pelanggan untuk menunggu sebelum memperoleh pelayanan dinotasikan dengan 
, dengan rumus:
dengan:
- λ = rata-rata tingkat kedatangan pelanggan;
- μ = rata-rata tingkat pelayanan; dan
- c = jumlah fasilitas pelayanan.
DAFTAR PUSTAKA
Cahyandari, R., & Setianto, A. T. (2014). Aplikasi proses Poisson periodik (Studi kasus: Antrian nasabah Bank BRI). ISTEK, 8(2). https://journal.uinsgd.ac.id/index.php/istek/article/view/219
Sismetha, R., Aritonang, M., & Kiftiah, M. (2017). Analisis model distribusi jumlah kedatangan dan waktu pelayanan pasien instalasi rawat jalan Rumah Sakit Ibu dan Anak (RSIA) Anugrah Bunda Khatulistiwa Pontianak. Buletin Ilmiah Matematika, Statistika dan Terapannya (BIMASTER), 6(1), 51–60. https://jurnal.untan.ac.id/index.php/jbmstr/article/view/19739
Sugito, S., & Mukid, M. A. (2011). Distribusi Poisson dan distribusi eksponensial dalam proses stokastik. Media Statistika, 4(2), 113–120. https://doi.org/10.14710/medstat.4.2.113-120