A. Konsep Dasar dan Karakteristik Multi-Server (M/M/c)
Pada analisis antrean tunggal (M/M/1), seluruh pelanggan dilayani oleh satu jalur atau satu server. Namun, ketika laju kedatangan pelanggan (λ) meningkat pesat, satu server sering kali mengalami kelebihan beban (overload) yang mengakibatkan antrean menjadi sangat panjang dan waktu tunggu meningkat secara signifikan.
Untuk mengatasi permasalahan tersebut, diterapkan Model Antrean Multi-Server (M/M/c). Model M/M/c merupakan sistem antrean di mana pelanggan yang datang akan masuk ke dalam satu baris antrean tunggal (single queue), namun dilayani oleh beberapa fasilitas pelayanan (c server) yang disusun secara paralel dan memiliki kapasitas pelayanan yang sama (Ibrahim, dkk., 2025).
Secara sistematis, model ini dinotasikan sebagai (M/M/c), berikut arti setiap notasi pada Model Antrean Multi-Server (M/M/c) (Rohmaniah dkk., 2021):
- M pertama: Pola kedatangan pelanggan berdistribusi Poisson.
- M kedua: Pola waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial.
- c: Jumlah fasilitas pelayanan/server yang beroperasi paralel (c >1).
Sistem antrean multi-server (M/M/c) memiliki beberapa karakteristik utama (Ferianto, dkk., 2016) :
1. Struktur Antrean (Single Line, Multiple Servers)
Pelanggan mengantre dalam satu baris yang sama. Ketika salah satu dari server selesai melayani dan menjadi kosong, pelanggan terdepan dalam antrean akan langsung dipanggil menuju server yang bebas tersebut.
2. Kapasitas Pelayanan Total Sistem
Jika satu server memiliki rata-rata tingkat pelayanan sebesar μ pelanggan per satuan waktu, maka total kapasitas pelayanan dari seluruh c server yang beroperasi secara bersamaan adalah cμ.
3. Kondisi Pelayanan Berdasarkan Jumlah Pelanggan (n)
- Jika n < c: Jumlah pelanggan di dalam sistem lebih sedikit dibanding jumlah server. Seluruh pelanggan langsung dilayani tanpa mengantre, dan sebanyak c – n server dalam kondisi menganggur (idle).
- Jika n ≥ c: Seluruh c server dalam kondisi sibuk melayani pelanggan. Pelanggan sisanya (n – c) harus menunggu dalam baris antrean.
Sama dengan single server, berikut parameter yang digunakan dalam Sistem Antrean Multi-server (M/M/c):
- Tingkat Kedatangan (λ): Rata-rata jumlah pelanggan yang datang per satuan waktu.
- Tingkat Pelayanan per Server (μ): Rata-rata jumlah pelanggan yang dapat dilayani oleh satu server per satuan waktu.
- Jumlah Server (c): Banyaknya fasilitas pelayanan paralel yang tersedia.
Menurut (Ferianto, dkk., 2016), suatu sistem antrean multi-server dikatakan stabil (steady state) jika total kemampuan pelayanan seluruh server lebih besar dari laju kedatangan pelanggan:
λ < cμ
- Jika λ < cμ: Sistem berada dalam kondisi stabil, sehingga panjang antrean dan waktu tunggu bernilai terbatas (finite).
- Jika λ ≥ cμ: Sistem menjadi tidak stabil (unstable). Kedatangan melampaui kemampuan total pelayanan sehingga panjang antrean akan terus membesar tanpa batas seiring berjalannya waktu.
Dalam penelitian (Ferianto, dkk., 2016), tingkat utilisasi (ρ) menggambarkan rata-rata proporsi kapasitas pelayanan seluruh server yang terpakai atau sibuk. Pada model M/M/c, rumus tingkat utilisasi dihitung dengan:
- ρ = 0: Tidak ada pelanggan dalam sistem; seluruh server menganggur.
- 0 < ρ < 1: Sistem stabil dan berjalan baik.
- ρ → 1: Server bekerja mendekati kapasitas maksimum, sehingga antrean lebih mudah terbentuk jika terjadi lonjakan kedatangan.
Dalam model M/M/c, sebelum menghitung indikator kinerja sistem antrean, parameter dasar yaitu tingkat kedatangan pelanggan (λ) dan tingkat pelayanan per server (μ) harus diukur terlebih dahulu.
Menurut (Qilmi, dkk., 2026), laju kedatangan (λ) menunjukkan rata-rata jumlah pelanggan yang datang memasuki sistem pelayanan per satuan waktu (menit, jam, atau hari), dapat dihitung melalui rumus berikut:
Untuk laju pelayanan (μ), menunjukkan rata-rata kapasitas pelayanan yang mampu diselesaikan oleh satu server per satuan waktu. Nilai μ merupakan kebalikan dari rata-rata waktu pelayanan per pelanggan 
dihitung dengan menggunakan rumus berikut:
Untuk μ diperoleh melalu rumus berikut:
B. Ukuran Kinerja Sistem Antrean Multi-Server (M/M/c)
Pengukuran kinerja sistem antrean adalah proses menghitung efisiensi operasional suatu tempat pelayanan yang memiliki lebih dari satu petugas atau server (Ibrahim, dkk., 2025). Setelah nilai rata-rata kedatangan pelanggan (λ) dan tingkat kecepatan pelayanan (μ) diketahui, langkah ini dilakukan untuk menilai seberapa baik sistem pelayanan bekerja dalam menangani pelanggan.
Tujuan utama dari analisis ini adalah untuk mengetahui kondisi nyata operasional antrean melalui beberapa indikator baku (Ibrahim, dkk., 2025):
- Peluang Server Menganggur
Persentase kemungkinan tidak ada pelanggan yang datang, sehingga seluruh petugas dalam keadaan kosong. - Jumlah Antrean
Rata-rata banyaknya pelanggan yang sedang menunggu giliran dalam baris antrean. - Jumlah Pelanggan di Lokasi (L): Rata-rata total pelanggan yang berada di tempat pelayanan, baik yang sedang mengantre maupun yang sedang dilayani.
- Waktu Menunggu
Rata-rata lama waktu yang dihabiskan seorang pelanggan hanya untuk mengantre sebelum dilayani. - Total Waktu Pelayanan (W): Rata-rata total waktu yang dihabiskan pelanggan dari saat pertama datang hingga selesai dilayani.
Dalam penelitiannya (Ibrahim, dkk., 2025), kinerja sistem antrean di atas, diukur menggunakan formula matematis berikut:
1. Probabilitas Sistem Kosong 
menyatakan peluang seluruh server dalam keadaan menganggur (idle) atau tidak ada pelanggan sama sekali di dalam sistem.
2. Jumlah Rata-rata Pelanggan dalam Antrean 
(Line in Queue) mengukur rata-rata jumlah pelanggan yang sedang berada di baris antrean untuk menunggu pelayanan.
3. Jumlah Rata-rata Pelanggan dalam Sistem (L)
L (Line in System) menggambarkan total rata-rata pelanggan yang ada di fasilitas pelayanan (baik yang sedang mengantre maupun yang sedang dilayani).
4. Waktu Tunggu Rata-rata dalam Antrean 
(Waiting time in Queue) menunjukkan rata-rata durasi waktu yang dihabiskan pelanggan untuk menunggu dalam antrean sebelum dilayani.
5. Waktu Tunggu Rata-rata dalam Sistem (W)
W(Waiting time in System) menunjukkan total rata-rata durasi waktu yang dihabiskan pelanggan mulai dari datang, mengantre, hingga selesai dilayani.
C. Tingkat Optimasi Pelayanan Optimal
Penentuan tingkat pelayanan optimal adalah tahap akhir dalam analisis sistem antrean. Pada tahap ini, fasilitas dan jumlah petugas pelayanan dirancang dengan mempertimbangkan total biaya yang harus dikeluarkan.
Penambahan loket atau petugas pelayanan membutuhkan biaya tambahan, baik untuk pengadaan fasilitas maupun gaji petugas baru. Di sisi lain, semakin banyak petugas yang disediakan, semakin besar pula kemungkinan waktu menganggur mereka (Khasanah & Astuti, 2022). Waktu menganggur ini menimbulkan opportunity cost, yaitu kerugian karena petugas tidak dialokasikan untuk pekerjaan lain yang lebih produktif. Dengan demikian, penambahan jumlah petugas tidak selalu menguntungkan dari sisi biaya operasional.
Menurut (Khasanah & Astuti, 2022), biaya pelayanan dihitung dengan mengalikan jumlah petugas dengan biaya yang dikeluarkan untuk setiap petugas, sebagaimana dirumuskan berikut:
Selain biaya pelayanan, terdapat pula biaya menunggu, yaitu kerugian yang timbul akibat pelanggan harus menunggu untuk mendapatkan pelayanan (Khasanah & Astuti, 2022). Biaya ini berbanding terbalik dengan tingkat pelayanan: semakin cepat pelanggan dilayani, semakin kecil biaya menunggu yang timbul. Karena nilai kerugian akibat menunggu sulit dihitung secara langsung, biaya ini biasanya didekati melalui perkiraan hilangnya keuntungan atau menurunnya produktivitas akibat waktu yang terbuang, sebagaimana dirumuskan berikut:
Kedua jenis biaya ini saling bertentangan. Menambah jumlah petugas akan menurunkan biaya menunggu, tetapi menaikkan biaya pelayanan, begitu pula sebaliknya. Menurut (Khasanah & Astuti, 2022), total biaya sistem dihitung dengan menjumlahkan keduanya, sebagaimana dirumuskan berikut:
D. Contoh Penerapan
Sebuah lembaga keuangan ingin menganalisis efisiensi layanan antrean pada loket mereka. Sistem menggunakan 3 server paralel (c = 3). Pengamatan dilakukan selama 1 jam (60 menit) terhadap 15 orang pelanggan pertama yang datang.
Data Tambahan Biaya Operasional:
- Jumlah server aktif (c) = 3 server
- Biaya operasional per server
= Rp 30.000 / jam - Biaya menunggu pelanggan
=Rp 20.000 / jam per pelanggan
Pertanyaan:
- Hitung laju kedatangan (λ) dan laju pelayanan per server (μ) per jam.
- Hitung tingkat utilisasi sistem (ρ) dan cek kondisi stabilitasnya.
- Hitung indikator kinerja sistem antrean
- Hitung Total Biaya Sistem (TC) per jam.
Proses Pengerjaan & Jawaban
Laju Kedatangan (λ):
Pelanggan pertama datang pukul 08.02 dan pelanggan ke-15 datang pukul 08.52 (rentang pengamatan efektif 1 jam).
Laju Pelayanan per Server (μ):
Total durasi pelayanan 15 pelanggan = 72 menit
Rata-rata waktu pelayanan per pelanggan
:
Laju pelayanan per server (μ):
Nilai Rasio Kedatangan terhadap Pelayanan 
Menghitung Utilisasi (ρ) & Cek Stabilitas
- Syarat Stabilitas (λ < cμ):
15 < (3 × 12,5) ⇒ 15 < 37,5 (Sistem STABIL)
- Tingkat Utilisasi Server (ρ):
Menghitung Ukuran Kinerja Sistem
Probabilitas Sistem Kosong 
Bagian 1 (n = 1, 2):
Bagian 2 (n = 3):
Hasil 
:
Rata-rata Pelanggan dalam Antrean
:
Rata-rata Pelanggan dalam Sistem (L)
Waktu Tunggu Rata-rata dalam Antrean 
:
Waktu Tunggu Rata-rata dalam Sistem (W)
Menghitung Total Biaya Sistem (TC)
- Biaya Pelayanan
- Biaya Menunggu
- Total Biaya Sistem (TC):
Interpretasi
Berikut adalah interpretasi dari hasil ukuran kinerja dan biaya optimasi pada contoh penerapan antrean multi-server (M/M/c) tersebut:
1. Interpretasi Utilisasi dan Stabilitas Sistem
- Stabilitas (λ < cμ): Sistem terbukti berada dalam kondisi stabil karena kapasitas pelayanan maksimum 3 server ( cμ = 37,5 pelanggan/jam) lebih besar dibandingkan tingkat kedatangan pelanggan (λ = 15 pelanggan/jam).
- Tingkat Utilisasi (ρ = 40%): Beban kerja rata-rata dari ketiga server hanya sebesar 40% dari total kapasitasnya. Hal ini menunjukkan bahwa server bekerja sangat santai dan memiliki sisa kapasitas (60%) yang cukup besar untuk menangani potensi lonjakan kedatangan pelanggan mendadak tanpa membuat antrean membludak.
2. Interpretasi Indikator Kinerja Operational (Performance Measures)
- Probabilitas Sistem Kosong
Terdapat peluang sekitar 29,41% bahwa seluruh server berada dalam keadaan kosong (idle) tanpa ada satu pun pelanggan di dalam bank. - Panjang Antrean
Rata-rata pelanggan yang mengantre di luar proses pelayanan sangat mendekati nol. Secara praktis, hampir tidak ada penumpukan antrean fisik di ruang tunggu. - Jumlah Pelanggan di Lokasi ( L = 1,2941 pelanggan): Secara rata-rata, hanya ada sekitar 1 hingga 2 pelanggan saja yang berada di area bank pada satu waktu. Dari jumlah ini, sebagian besar adalah pelanggan yang sedang diproses di meja layanan, bukan yang menunggu.
- Waktu Tunggu Antrean
Pelanggan rata-rata hanya menunggu sekitar 23 detik sebelum dipanggil ke loket. Kualitas layanan (Service Level) dari sudut pandang pelanggan sangat memuaskan dan cepat. - Total Waktu di Sistem ( W ≈ 5,18 menit): Pelanggan menghabiskan waktu total sekitar 5,18 menit dari datang hingga keluar bank. Mengingat waktu pelayanan adalah 4,8 menit, sebagian besar waktu pelanggan dihabiskan untuk transaksi/pelayanan nyata, bukan menunggu.
3. Interpretasi Optimasi Biaya Operasional (Cost Optimization)
- Komposisi Biaya:
Biaya Pelayanan 
Rp 90.000/jam (77,67% dari total biaya).
Biaya Menunggu 
Rp 25.882/jam (22,33% dari total biaya).
Total Biaya (TC): Rp 115.882/jam.
- Evaluasi Efisiensi Biaya: Penggunaan 3 server berhasil menekan biaya menunggu ke tingkat yang rendah (Rp 25.882) karena antrean sangat singkat. Namun, porsi biaya pelayanan menyedot anggaran paling besar (90.000) akibat nilai utilisasi server yang rendah (40%). Ini mengindikasikan adanya opportunity cost di mana server/petugas sering menganggur.
E. Kesimpulan
Analisis kinerja sistem antrean multi-server (M/M/c) dilakukan untuk mengetahui kemampuan suatu sistem pelayanan berfasilitas sejajar dalam melayani pelanggan secara efektif dan efisien. Kinerja sistem dipengaruhi oleh tingkat kedatangan pelanggan (λ), tingkat pelayanan per server (μ), dan jumlah server yang beroperasi (c), yang selanjutnya digunakan untuk menghitung tingkat utilisasi (ρ) serta berbagai ukuran performa, seperti probabilitas server kosong , rata-rata jumlah pelanggan dalam antrean , rata-rata jumlah pelanggan dalam sistem (L), rata-rata waktu tunggu dalam antrean , dan rata-rata total waktu di sistem (W). Selain ukuran performa operasional, analisis ini juga menjelaskan optimasi Total Biaya Sistem (TC) melalui titik keseimbangan antara Biaya Pelayanan 
dan Biaya Menunggu 
. Melalui pemahaman materi ini, dapat dipahami bahwa hasil perhitungan kinerja dan analisis biaya memberikan gambaran menyeluruh mengenai efisiensi operasional sehingga dapat digunakan sebagai dasar pertimbangan manajerial dalam menentukan jumlah server optimal.
REFERENSI
Ferianto, E. J., Insani, N., & Subekti, R. (2016). Optimasi pelayanan antrian multi channel (M/M/c) pada Stasiun Pengisian Bahan Bakar Umum (SPBU) Sagan Yogyakarta. Jurnal Kajian dan Terapan Matematika, 5(4). OPTIMASI PELAYANAN ANTRIAN MULTI CHANNEL (M/M/c)PADA STASIUN PENGISIAN BAHAN BAKAR UMUM (SPBU) SAGAN YOGYAKARTA | Juni Ferianto | Jurnal Kajian dan Terapan Matematika
Ibrahim, N., Nasib, S. K., Nuha, A. R., Katili, M. R., Nurwan, & Wungguli, D. (2025). Analisis Sistem Antrian dengan Model M/M/C dalam Meningkatkan Efektivitas Kinerja Sistem. Algoritma: Jurnal Matematika, Ilmu pengetahuan Alam, Kebumian dan Angkasa, 3(2), 20–34. Analysis Analisis Sistem Antrian dengan Model M/M/C dalam Meningkatkan Efektivitas Kinerja Sistem | Algoritma : Jurnal Matematika, Ilmu pengetahuan Alam, Kebumian dan Angkasa
Khasanah, M. N., & Astuti, Y. P. (2022). Analisis sistem antrian pada optimalisasi pelayanan pasien di Pusat Kesehatan Masyarakat. MATHunesa: Jurnal Ilmiah Matematika, 10(1). ANALISIS SISTEM ANTRIAN PADA OPTIMALISASI PELAYANAN PASIEN DI PUSAT KESEHATAN MASYARAKAT | MATHunesa: Jurnal Ilmiah Matematika
Qilmi, A. T., Sulistyawati, D. R., & Mohammad, G. (2026). Analisis dan optimasi sistem antrean pelanggan pada Cafe Kopinan 24 Jepara menggunakan model M/M/1 dan M/M/2. Jurnal Industrikrisna, 15(1), 41–56. Analisis dan Optimasi Sistem Antrean Pelanggan pada Cafe Kopinan 24 Jepara Menggunakan Model M/M/1 dan M/M/2 | INDUSTRIKRISNA
Rohmaniah, S. A., Masnikafah, S., & Pradana, M. S. (2021). Analisis Sistem Antrian Pasien Rawat Jalan Menggunakan Distribusi Poisson dan Distribusi Erlang. UJMC (Unisda Journal of Mathematics and Computer Science), 7(2), 39–48. View of Analisis Sistem Antrian Pasien Rawat Jalan Menggunakan Distribusi Poisson dan Distribusi Erlang